3.1. Понятие об уравнениях с частными производными
Теоретический минимум
Общее (неразрешенное) дифференциальное уравнение с частными
производными (ДУ с ЧП) первого порядка для одной неизвестной функции
1
,...,
n
z z x x
n независимых переменных
1
,...,
n
xx
имеет вид
1
1
,..., , , ,..., 0.
n
n
zz
F x x z
xx
(3.1)
Здесь F – заданная функция 2n+1 аргумента. Решением (интегралом)
этого дифференциального уравнения (3.1) называется любая функция
1
,..., ,
n
z x x
непрерывно дифференцируемая в некоторой области
1
,...,
n
xx
и обращающая в этой области соотношение (3.1) в тождество.
Такое решение называют регулярным, а график решения – интегральной
поверхностью этого ДУ.
ДУ с ЧП первого порядка, разрешенное относительно одной из
производных (нормальная или каноническая форма уравнения), имеет
следующий вид:
1
1
, ,..., , , ,..., ,
n
n
z z z
f x y y z
x y y
(3.2)
где f – заданная функция 2n+2 аргументов; независимые переменные
обозначены теперь через
1
, ,..., ;
n
x y y
искомой является функция
1
, ,..., .
n
z z x y y
Решение ДУ с ЧП, содержащее произвольные линейно независимые
функции, число которых равно порядку уравнения и которые описывают
все регулярные решения при соответствующем подборе произвольных
функций, называют общим решением уравнения. Решение, получаемое из
общего при замене произвольных функций конкретными, называют
частным.
При решении прикладной (физической) задачи обычно находят
частное решение, которое удовлетворяет некоторым дополнительным
условиям, вытекающим из физического смысла задачи.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно
линейно относительно неизвестной функции z и ее производных.
Каждое ДУ с ЧП первого порядка находится в тесной связи с
некоторой системой обыкновенных дифференциальных уравнений,
называемой системой характеристических уравнений.
Рассмотрим ДУ первого порядка
,
zz
X Y Z
xy
где
, , ,X X x y z
, , ,Y Y x y z
, , ,Z Z x y z
и связанную с этим уравнением систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
dx dy dz
X Y Z
, называемую
системой (характеристик) характеристических уравнений.
Пусть
11
,,x y z C
и
22
,,x y z C
– два линейно независимых
интеграла системы характеристик.
Тогда общий интеграл исходного ДУ имеет вид
12
, , , , , 0,x y z x y z
где
12
,
– произвольная непрерывно
дифференцируемая функция.
Практический минимум
1А1. Найти функцию
,,z z x y
удовлетворяющую ДУ
7.
z
x
Интегрируя, получим общее решение в виде
7,z x y
где
y
–
произвольная функция.
1А2. Решить уравнение
2
2
6 2,
z
y
y
где
,.z z x y
Дважды интегрируя по
,y
получим
2
3 2 ,
z
y y x
y
откуда
32
,z y y y x x
где
x
и
x
– произвольные функции.
1А+Б3. Найти общее решение уравнения
2
0.
uu
a
x y x
Введем обозначения
,
u
v
x
2
uv
x y y
. Тогда уравнение примет вид
0.
y
v av
Разделяя переменные, получим
.
dv
ady
v
Интегрируем:
1
ln lnv C x ay
или
1
ay
C x v e
1
1
ay
u
ve
x C x
22
1
1
,
ay ay
u x y e dx C y e C x dx C y
Cx
=
2
.
ay
e C x C y
1А4. Найти общий интеграл уравнения
.
zz
x y z
xy
Рассмотрим систему уравнений
dx dy dz
x y z
. Решая уравнение
dx dy
xy
, получим
1
;
y
C
x
решение уравнения
dx dz
xz
есть
2
.
z
C
x
Общий
интеграл заданного уравнения имеет следующий вид:
,0
yz
xx
или,
разрешив относительно
z
x
, если это возможно, получим
zy
xx
, т. е.
,
y
zx
x
где ψ – произвольная функция.
1А+Б5. Найти общий интеграл уравнения
22
2 0.
zz
x y xy
xy
Запишем систему уравнений
22
20
dx dy dz
xy
xy
. Воспользовавшись
свойством пропорции, представим уравнение
22
2
dx dy
xy
xy
в виде
2 2 2 2
22
dx dy dx dy
x y xy x y xy
или
22
d x y d x y
x y x y
.
Интегрируя, получим
22
1 1 1 1 2
, , .
y
C C C
x y x y x y x y
xy
Последнее равенство можно переписать в виде
1
22
.
y
C
xy
Второе уравнение системы
0.dz
Отсюда
2
.zC
Общий интеграл имеет вид
22
, 0,
y
z
xy
или, разрешив
относительно
z
(если возможно),
22
y
z
xy
.
1А6. Показать, что функция
,u x x y y x y
где
и
–
произвольные дважды дифференцируемые функции, является решением
уравнения
2 2 2
22
2 0.
u u u
xy
xy
Найдем частные производные первого и второго порядка:
,
u
xy
x
2
2
2,
u
x y x y
x
2
,
u
xy
xy
,
u
xy
y
2
2
2
u
xy
y
и подставим найденные выражения в уравнение
2 2 2 0.x y x y x y
Таким образом, функция
u
является решением данного уравнения.
1А7. Найти функцию
,,z z x y
удовлетворяющую ДУ
2
2
7
z
xy
x
и
начальным условиям
1,
17
1, ; 2 .
62
zy
z y y y
x
Интегрируя по
,x
получим
2
7
2,
2
z
x yx y
x
где
y
–
произвольная функция. Используя второе из начальных условий,
определим функцию
:y
1,
77
2 2 ,
22
zy
y y y
x
откуда
0,y
и, таким образом,
2
7
2.
2
z
x yx
x
Проинтегрируем полученное уравнение по
:x
32
7
.
6
z x yx y
Тогда, используя первое из начальных условий, определим функцию
:y
17
1, ,
66
z y y y y
откуда
1.y
Окончательно получим:
32
7
1.
6
z x yx
Задания для самостоятельной работы
1А8. Найти общее решение уравнения
2
1.
u
xy
Ответ:
12
,.u x y xy C x C y
1А9. Найти общее решение уравнения
4
22
0.
z
xy
Ответ:
1 2 3 4
,.z x y xC y C y yC x C x
1А10. Найти общее решение уравнения
3
22
2
.
u
x xy y
xy
Ответ:
3 2 2 3 4
1 2 3
,.
6 12 12
x y x y xy
u x y C y yC x C x
1А11. Найти общий интеграл уравнения
2.
zz
yz xz xy
xy
Ответ:
2
2 2 2
, 0.
2
z
x y x
1А12. Показать, что функция
x
u xy
y
, где
и
–
произвольные дважды дифференцируемые функции, является решением
уравнения
22
22
22
0.
u u u u
x y x y
xy
xy
1А13. Убедиться, что функция
cosu y x y
является решением
уравнения
.
u u u
x y y
1А+Б14. Найти общее решение уравнения
2
0.
uu
by
x y x
